Vitesse d'un skieur

Un skieur de masse \(m\) descend une piste de ski inclinée.
On note `\text{G}` le centre de gravité du skieur.
Le skieur part du point \(\text{A}\) avec une vitesse nulle et glisse sans effort jusqu’au point \(\text{B}\), situé en contrebas.
On modélise la piste par un segment \([\text{AB}]\), incliné d’un angle \(\alpha=30°\) par rapport à l’horizontale.
La situation est représentée par le schéma ci-dessous.

Données :

• masse du skieur : \(m=80~\text{kg}\)
• longueur de la piste : \(\text{AB}=500~\text{m}\)
• accélération de la pesanteur : \(\text{g}= 9{,}8~\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\)

Partie A : étude sans frottement

On suppose dans cette partie que le skieur n'est soumis à aucune force de frottement.
Le système étudié est le skieur dans le référentiel terrestre. Il est soumis à son poids \(\vec{P}\) et à la réaction normale du support \(\vec{R_N}\).

1. Reproduire le schéma et y représenter les forces \(\vec{P}\) et \(\vec{R_N}\).

2. a. Pour chaque force, préciser si le travail est moteur (c'est-à-dire s'il accompagne le mouvement), résistant (c'est-à-dire s'il s'oppose au mouvement) ou nul.
    b. Donner la valeur du travail de la réaction normale \(\vec{R_N}\) lors du déplacement de \(\text{A}\) vers \(\text{B}\). 
    c. Déterminer l'expression du travail du poids \(\vec{P}\) lors du déplacement de \(\text{A}\) vers \(\text{B}\).

3. Le théorème de l'énergie cinétique dit que la variation de l’énergie cinétique d’un système entre deux points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) est égale à la somme des travaux des forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur lui lors du déplacement de \(\text{A}\) vers \(\text{B}\) :
\(\Delta E_c = \dfrac{1}{2}mv_{\text{B}}^2 - \dfrac{1}{2}mv_{\text{A}}^2 = \sum W_{\text{A} \to \text{B}}(\vec{F}_i)\).
En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, en déduire la vitesse \(v_{\text{B}}\) du skieur au point \(\text{B}\).

Partie B : prise en compte des frottements

En réalité, la vitesse mesurée au point \(\text{B}\) est seulement de \(v_{\text{B}}=10~\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).
Cela s'explique par la présence de forces de frottement, que l'on modélise par une unique force \(\vec{f}\) constante et de même direction que la pente mais de sens opposé au mouvement.

1. a. Compléter le schéma de la partie A en ajoutant la force de frottement \(\vec{f}\).
    b. Préciser le caractère moteur, résistant ou nul du travail de la force \(\vec{f}\).

2. Donner l'expression du travail de la force de frottement \(\vec{f}\) lors du déplacement de \(\text{A}\) vers \(\text{B}\).

3. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, déterminer la valeur \(f\) de la force de frottement \(\vec{f}\).